Diego Fernando Sierra Sanchez

Kurt Gödel a los 19 años de edad, cinco años antes 

de la demostración de los teoremas.

Los teoremas de incompletitud de Gödel

Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.

El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse (usando sólo las reglas de deducción de dicha teoría). Las teorías aritméticas para las que el teorema es válido son básicamente aquellas en las que la deducción de teoremas puede realizarse mediante un algoritmo (y por tanto el conjunto de axiomas sea recursivamente enumerable).

La prueba del teorema es totalmente explícita: en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.¹

El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que "afirma" la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema en cuestión es consistente, no es posible probarlo dentro del propio sistema.

Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert

Tomado el 16 de marzo de 2013 de la pagina web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del